题目

已知在正项数列an中,a1=2,点An（√an,√an+1）在双曲线y^2-x^2=1上,数列bn中,点（bn,Tn）在直线
y=-1/2x+1上,其中Tn是数列bn的前n项和
1.求数列an的通项公式
2.求证数列bn是等比数列
3.若cn=bn乘an,求证cn+1小于cn

提问时间：2021-03-13

答案

(1)点An（√an,√an+1）在双曲线y^2-x^2=1上
a(n+1)-a(n)=1
a(n)是等差数列,
a(n)=2+(n-1)=n+1
(2)点（bn,Tn）在直线y=-1/2x+1上
所以 Tn=-1/2 bn+1
2Tn=-bn+2
所以 2T(n-1)=-b(n-1)+2 (n>1)
以上两式相减.
2bn=-bn+b(n-1)
3bn=b(n-1)
bn/b(n-1)=1/3
所以 {bn}是等比数列
（3）2Tn=-bn+2
2b1=-b1+2
b1=2/3
bn=2/3 *(1/3)^n =2/3^n
cn=(2n+2)/3^n>0
c(n+1)/cn= (2n+4)/3^(n+1) ÷ (2n+2)/3^n)
=(n+2)/3(n+1)