题目

请问一下这个极限和 怎么求啊 lim（n→∞）∑（k=1,n） 1/[（n^2+k^2）]^½

提问时间：2021-03-12

答案

用积分定义
原式=lim（n→∞）∑（k=1,n） 1/[（n^2+k^2）]^½
=lim（n→∞）∑（k=1,n） (1/[n^2(1+(k/n)^2）]^½)
=lim（n→∞）∑（k=1,n） (1/[1+(k/n)^2]^½)*(1/n)
=∫[0,1] 1/根号(1+x^2) dx
令x=tan t,t∈(-π/2,π/2)
dx=sec^2t dt
原式=∫[0,1] sec t dt
=ln|sect+tant|+C |[0,1]
=ln|根号(1+x^2)+x|+C |[0,1]
代入1得ln|1+根号2|
代入0得ln1=0
所以积分=ln(1+根号2)
lim（n→∞）∑（k=1,n） 1/[（n^2+k^2）]^½=ln(1+根号2)