题目
数列{an}是等比数列，a1=8，设bn=log2an（n∈N+），如果数列{bn}的前7项和S7是它的前n项和组成的数列{Sn}的最大值，且S7≠S8，求{an}的公比q的取值范围．
提问时间：2021-03-12
答案
∵等比数列{an}的公比q＞0，a1=8，∴数列为正项数列，
∴an=8qn-1，
∴bn=log2an=3+（n-1）log2q，
bn+1=3+nlog2q，
∴bn+1-bn=log2q，b1=log28=3，
∴数列{bn}是以3为首项，log2q为公差的等差数列．
由（1）知bn=3+（n-1）log2q，
∵数列{bn}的前n项和中S7最大，且S7≠S8，
∴b7＞0，b8＜0，
由b7＞0，得：3+（7-1）log2q＞0，
整理，得2log2q＞-1，log2q＞-
，解得q＞
∴an=8qn-1，
∴bn=log2an=3+（n-1）log2q，
bn+1=3+nlog2q，
∴bn+1-bn=log2q，b1=log28=3，
∴数列{bn}是以3为首项，log2q为公差的等差数列．
由（1）知bn=3+（n-1）log2q，
∵数列{bn}的前n项和中S7最大，且S7≠S8，
∴b7＞0，b8＜0，
由b7＞0，得：3+（7-1）log2q＞0，
整理，得2log2q＞-1，log2q＞-
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