题目

向量a=(1,1),且与a+2b的夹角为锐角,则a·b的取值范围是
向量a=（1,1）,且与a+2b的夹角为锐角,则a·b的取值范围是

提问时间：2021-03-12

答案

可设向量b(x,y),(x,y∈R)
则a+2b=(1,1)+2(x,y)
=(2x+1,2y+1)
∴a(a+2b)=(1,1)*(2x+1,2y+1)
=2x+2y+2
=2(x+y)+2.
又显然有a*b=(1,1)*(x,y)
=x+y.
∵两个向量a与a+2b的夹角为锐角,
∴由公式cosθ=[a(a+2b)]/[|a|*|a+2b|]
及cosθ＞0可知：
a*(a+2b)＞0
∴2（x+y)+2＞0.
∴x+y＞-1.
即a*b＞-1.
∴a*b的取值范围是：
（-1,+∞）.