题目

试确定常数A、B、C的值,使得 e^x * (1+Bx+Cx^2)=1+Ax+ο(x^3),其中ο(x^3)是当x→0时比x^3高阶的无穷小
有这么个答案
(e^x)*(1+Bx+Cx^2)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3))*(1+Bx+Cx^2)=1+(1+B)x+(1/2+B+C)x^2+(1/6+B/2+C)x^3+o(x^3)=1+Ax+ο(x^3)
所以,有1+B=A,1/2+B+C=0,1/6+B/2+C=0
解得：A=1/3,B=-2/3,C=1/6
但小弟第二个等号看不懂 求教

提问时间：2021-03-12

答案

第二个等号是(1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3))*(1+Bx+Cx^2)=1+(1+B)x+(1/2+B+C)x^2+(1/6+B/2+C)x^3+o(x^3),它是通过展开括号算出来的.其中,先不看等号左边的o(x^3)部分,将得到等号右边的除了o(x^3)以外的部分.然后,o(x^3)乘以(1+Bx+Cx^2)得到o(x^3),这是因为
o(x^3)*1=o(x^3),
o(x^3)*Bx=o(x^4),
o(x^3)*Cx^2=o(x^5),
o(x^3)+o(x^4)+o(x^5)=o(x^3).
注意,凡是带小o符号的等式中的等号跟常规意义下的等号的意思不同:它只能从左往右看,不能从右往左看.也就是说,如果f和g中有小o符号,那么f=g跟g=f是两回事.并且,o(x^3)不能看做一个具体的数或变量,所以不能消去.