题目

设函数f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]（t∈R）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

提问时间：2021-03-12

答案

f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其图象的对称轴为直线x=1，且图象开口向上．
①当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数f（x）在顶点处取得最小值，即g（t）=f（1）=1；
③当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．
综上可得，g（t）=

t2+1 ，  t＜0 1 ，  0≤t≤1 t2−2t+2 ，t＞1

．

求出二次函数f（x）的对称轴为直线x=1，图象开口向上，分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况，分别利用单调性求出函数的最小值，即可得到g（t）的表达式．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．