题目

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a、b满足f（2a+b）＜1，则

b+2

a+2

的取值范围是______．

提问时间：2021-03-11

答案

由图可知，当x＞0时，导函数f′（x）＞0，原函数单调递增
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，
∴b，a满足不等式

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，其对应的区域如图阴影部分（不包括边界）
∴

b+2

a+2

表示过点P（-2，-2）与区域内一点M连线的斜率
由图知，当点M在A时，

b+2

a+2

取到最大值为3，当点M在点B时，取到最小值

1

2

由于区域不包括边界，故

b+2

a+2

的取值范围是(

1

2

，3)
故答案为：(

1

2

，3)．

先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．

本题考点：函数的单调性与导数的关系；简单线性规划．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，根据导函数的符号判定函数的单调性是解题的关键，属中档题．