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题目
在三角形ABC中,sinB+cosB=√2,AC=2√5,cosC=2√5/5 (1)求sinA
(2)设D为BC上不与端点B,C重合的一点,求AD的取值范围

提问时间:2021-03-11

答案
sinB+cosB=根号2sin(B+45)=根号2
即有B+45=90
B=45度.
方法一:
∵cosC=2√5/5>0,∴C是锐角,又B=45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D.
显然有:cosC=CD/AC=2√5/5,∴CD=(2√5/5)AC=(2√5/5)×2√5=4.
∴AD=√(AC^2-CD^2)=√(20-16)=2.
∵∠B=45°、AD⊥BD,∴BD=AD=2、AB=2√2,∴BC=BD+CD=2+4=6.
∴由余弦定理,有:
cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB×AC)=(8+20-36)/(2×2√2×2√5)=-1/√10,
∴sin∠BAC=√[1-(cos∠BAC)^2]=√(1-1/10)=3/√10=3√10/10.
方法二:
∵cosC=2√5/5>0,∴C是锐角,又B=45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D.
∵cosC=2√5/5,∴sin∠CAD=cosC=2√5/5,cos∠CAD=√[1-(sin∠CAD)^2]=1/√5.
∵∠B=45°、AD⊥BD,∠BAD=45°,∴sin∠BAD=cos∠BAD=1/√2.
∴sin∠BAC
=sin(∠BAD+∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD+cos∠BADsin∠CAD
=(1/√2)×(1/√5)+(1/√2)×(2√5/5)=1/√10+2/√10=3/√10=3√10/10.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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