题目

求证：1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)(n>=2且为正数）

提问时间：2021-03-11

答案

二楼确实不对.此题可以运用数学归纳,也可以采用逆推法.要证1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n),等价于n*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>（n+1）(1/2+1/4+1/6+...+1/2n),左右各加上n*（1/2+1/4+```````+1/2n）,那么左边就是n（1+1/2+1/3+1/4+``````+1/2n）,右边是（2n+1）（1/2+1/4+1/6+...+1/2n)=（n+1/2）(1+1/2+1/3+````+1/n),即等价于证明n*（1+1/2+1/3+1/4+``````+1/2n）>（2n+1）（1/2+1/4+1/6+...+1/2n)=（n+1/2）(1+1/2+1/3+````+1/n),消去相同的项,等价于证明[n/(n+1)+n/(n+2)+````+n/(2n)]>1/2*(1+1/2+1/3+````+1/n),只须证明每一项都是前者大于后者,即n/(n+k)>1/2k,这个可以通过真分数不等式,或者直接通分得证.故本题得证