题目

求抛物线y²=2px及其在点(

p

2

，p)处的法线所围成的图形的面积．

提问时间：2021-03-11

答案

根据题意画出图形，
先求出曲线在该点的导数值，
2yy′=2p，y′=1，
写出法线方程：y-p=-（x-

1

2

p），y=-x+

3

2

p，
解出曲线与法线相交的另一点坐标，

y＝−x+ 3 2 p y2＝2px

解得为(

9

2

p，−3p)．
再算二重积分即面积：
S=

∫

p −3p

dy

∫	3 2 p−y y2 2p

dx
=

∫

p −3p

(

3

2

p−y−

y2

2p

)dy
=

16

3

p2．

第一步，算出导数值；
第二步，写出法线方程；
第三步，算出二重积分即面积．

本题考点：平面图形面积的计算．

考点点评：本题属于导数几何意义的考察和二重积分的计算．