题目

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)an=2^n,Sn是数列{an}的前n项和,S2012是多少?
结论：S[2012]=3*2^1006-3
由已知a[1]=1,a[2]=2 [ ]内是下标
a[n+1]a[n]=2^n (1)
a[n+2]a[n+2]=2^(n +1) (2)
(2)/(1) a[n+2]=2a[n] （隔项递推关系）
S[2012]=a[1]+a[3]+a[5]+...+a[2009]+a[2011] *** 用到隔项递推关系
+a[2]+a[4]+a[6]+...+a[2010]+a[2012]
=1+2+2^2+...+2^1004+2^1005
+2+2^2+2^3+...+2^1005+2^1006
=(2^1006-1)+(2^1007-2)
=3*2^1006-3
S[2012]=a[1]+a[3]+a[5]+...+a[2009]+a[2011] *** 用到隔项递推关系
+a[2]+a[4]+a[6]+...+a[2010]+a[2012]
=1+2+2^2+...+2^1004+2^1005
+2+2^2+2^3+...+2^1005+2^1006
=(2^1006-1)+(2^1007-2)
这些不太明白,为什么a[2011]=2^1005
、还有最后是怎么得到(2^1006-1)+(2^1007-2)的?

提问时间：2021-03-11

答案

为什么a[2011]=2^1005 ?a[n+2]=2a[n] （隔项递推关系）a[2011]=2*a[2009]=2^2*a[2007]=...=2^1005*a[1]=2^1005 1+2+2^2+...+2^1004+2^1005=2^1006-12+2^2+2^3+...+2^1005+2^1006=2^1007-2