题目

1 已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15,求抛物线方程．
2 若抛物线y=2x^2上的两点A(x1,y1)B(x2,y2),关于直线l:y=x+m对称,且x1x2=-1/2,求实数m的值

提问时间：2021-03-11

答案

1.设抛物线方程：y^2=2px,与直线交点P(x1,2x1+1),Q(x2,2x2+1).由弦长公式：(x1-x2)^2=3.不妨设x1>x2,则x1-x2=根号3.
又P,Q在抛物线上,y1^2-y2^2=2p(x1-x2)==>
(y1-y2)/(x1-x2) *(y1+y2)=2p==>
x1+x2=1/2*(p-2)
综合二式,带入求的p.
2.直线AB斜率为-1=2(x2^2-x1^2)/(x2-x1)=2(x2+x1)==> x1+x2=-1/2.求得：
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2=5/4.有：
线段AB中点（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(-1/4,5/4)带入直线L方程求的,m=1.5.