题目

已知函数f(x)=x^2+ax+b,不等式f(x)

提问时间：2021-03-11

答案

由题知f(x)=0的两根为-1和5
∴-a=5-1=4,即a=-4；b=5·(-1)=-5
(1)f(x)=x²-4x-5
(2)f(x)=(x-2)²-9（x∈R）,∴f(x)值域为[-9,+∞]
(3)当x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)时,|f(x)|=f(x)=x²-4x-5；当x∈[-1,5]时,|f(x)|=-f(x)=-x²+4x+5
1°当x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)时,联立f(x)和直线,得到x²-6x-(5+m)=0,Δ=56+4m
当Δ＜0,即m＜-14时,两函数在(-∞,-1)∪(5,+∞)无交点；
当Δ=0,即m=-14时,解得x=3,不满足假设,∴两函数在(-∞,-1)∪(5,+∞)无交点；
当Δ＞0,即m＞-14时,得x1=3+√(14+m),x2=3-√(14+m).令x2＜-1,得m＞-2；令x1＜5,得m＞-10.
∴当x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)时：当m∈(-∞,-10]时无交点,当m∈(-10,-2]时唯一交点,当m＞-2时两交点
2°当x∈[-1,5]时,联立f(x)和直线,得到x²-2x+m-5=0,Δ=24-4m
当Δ＜0,即m＞6时,两函数在[-1,5]无交点；
当Δ=0,即m=6时,解得x=1,满足假设,∴两函数在[-1,5]有唯一交点；
当Δ＞0,即m＜6时,得x1=1+√(6-m),x2=1-√(6-m).令x2≥-1,得m≥2；令x1≤5,得m≥-10
∴当x∈[-1,5]时：当m＞6或m＜-10时无交点,当m=6或m∈[-10,2)时有唯一交点,当m∈[2,6)时两交点
综上,当m＜-10时二者无交点,当m=-10时二者有唯一交点,当m∈(-10,-2]∪(6,+∞)时二者有两交点,当m∈(-2,2]或m=6时二者有三交点,当m∈(2,6]时二者有四交点