题目

已知圆O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任意一点P引该线的垂线，垂足为M，连接AP，记AP=x．（1）写出AP+2PM关于x的函数关系式．
（2）求该函数的值域．

提问时间：2021-03-11

答案

（1）如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠A，∠M=∠APB=90°，
∴△PMB∽△BPA；
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=

PB2

AB

=

(2R)2−x2

2R

，
∴AP+2PM=x+

4R2−x2

R

=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）；
（2）∵函数y═-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）是二次函数，且a=-

1

R

＜0，
∴函数y在x=

R

2

时取得最大值y_最大值=

17R

4

，
在x=0时，y=4R，x=2R时，y=2R；
∴函数y=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）的值域是（2R，

17R

4

]．