题目

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围．

提问时间：2021-03-11

答案

（1）要使函数f（x）有意义必须a^x-1＞0时，即a^x＞1…（1分）
①若a＞1，则x＞0…（3分）
②若0＜a＜1，则x＜0…（5分）
∴当a＞1时，函数f（x）的定义域为：{x|x＞0}；
当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为：{x|x＜0}…（6分）
（2）f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1…（8分）
①当a＞1，则x＞0，且a^x-1＞a…（9分）
∴x＞log_a（a+1）…10
②当0＜a＜1时，则x＜0，且a^x-1＜a…（11分）
log_a（a+1）＜x＜0…（12分）
∴综上当a＞1时，x的取值范围是（log_a（a+1），+∞），
当0＜a＜1时，x的取值范围是（log_a（a+1），0）…（13分）