题目

已知a，b，分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin²A+sin²C-sin²b=sinAsinC
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3 3

4

，且b＝

3

，求a+c的值．

提问时间：2021-03-11

答案

（1）∵sin²A+sin²C-sin²b=sinAsinC，
∴由正弦定理，得a²+c²-b²=ac
再由余弦定理，得cosB=

a2+b2−c2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）∵△ABC的面积为

3 3

4

，
∴

1

2

acsinB＝

3 3

4

，即

1

2

acsin

π

3

＝

3 3

4

，可得ac=3．
∵b=

3

，得b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²-ac=3．
两边都加上3ac，得a²+c²+2ac=12
即（a+c）²=12，可得a+c=2

3

．

（1）根据正弦定理，将题中等式化成边之间的平方关系，再用余弦定理即可求出cosB=12，从而得到角B的大小；（2）由正弦定理的面积公式，结合题意算出ac=3．再利用余弦定理得到a2+c2-ac=3，联解即可得到a+c的值．

本题考点：余弦定理．

考点点评：本题给出三角形角正弦的平方关系，求角B大小并由此计算a+c的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．