题目

抛物线 y=x^2+bx+c经过直线y＝－x＋3与坐标轴的两个交点A（与x轴的交点）,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.

提问时间：2021-03-11

答案

x=0代入y=-x+3 得y=3 B（0,3）
y=0代入y=-x+3 得x=3 A（3,0）
A、B代入抛物线
0=9+3b+c
3=c
所以b=-4
y=x^2-4x+3=（x-2）^2-1
所以D（2,-1）,过D做一条AB的平行线,设方程y=-x+d 解得d=1,在这条直线上的点都满足面积相等的要求,另外在AB直线的另一侧也做一条平行线到AB的距离和过D的直线相同,这条直线的方程应该为y=-x+5,这条直线上的点也满足要求
联立抛物线和y=-x+1可解得x=1,x=2,其中x=2是D点,x=1时y=0即M（1,0）
联立抛物线和y=-x+5可解得x=（3+17^1/2）/2,x=（3-17^1/2）/2解得
M（（3+17^1/2）/2,（13+17^1/2）/2）,M（（3-17^1/2）/2,（13-17^1/2）/2）