题目

高中函数不等式
已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|
同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1

提问时间：2021-03-11

答案

这个题嘛,分析下
既然是求最大值,那么一般是边界情况或者平衡情况.
也就是也许是在f(0)=f(1)=1 ,那么对称轴f(1/2)=-1 的时候取到
即|f(0)|,|f(1/2)|,|f(1)|都取到1的时候
有了这个猜想,接下去就是根据它来证明了
既然涉及到f(0),f(1/2),f(1),那么根据多项式的定理,a,b,c可以由它们唯一确定：
f(0)=c f(1/2)=a/4+b/2+c f(1)=a+b+c
得b=4f(1/2)-3f(0)-f(1)
a=2f(0)-4f(1/2)+2f(1)
那么|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|
看到这里,自然想去用绝对值不等式放缩,但是,能否取到等号呢?
显然没问题,根据绝对值不等式取等条件2f(0),-4f(1/2),2f(1)要同号
3f(0),f(1),-4f(1/2)要同号
这跟我们的猜想一致
所以|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|