题目

如图，AB∥CD，∠ABC=∠BAD=60°，连接AC，点E在AD上，连接BE，使∠ABE=∠CAD，BE交AC于F，将△ABE沿AB翻折得△ABG，点E落在点G处，连接DG．若EF=

9

7

，CD=3，则DG的长为______．

提问时间：2021-03-11

答案

如图，连接BD．
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
又∵∠ABC=∠BAD，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DBC=∠DAC．   
∵将△ABE沿AB翻折得△ABG，点E落在点G处，
∴∠BAG=∠BAD=60°，∠ABE=∠ABG，BG=BE，AG=AE，
∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=120°，
又∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABG=∠DBC=∠DAC=∠ABE，
又∵∠ABC=∠DBC+∠ABD=60°，
∴∠DBG=∠ABG+∠ABD=∠ABC=60°，
∴∠DAG+∠DBG=120°+60°=180°，
∴A、G、B、D四点共圆，
又∵A、B、C、D四点共圆，
∴A、B、C、D、G五点共圆，
∴∠BGD=∠BAD=60°，
∴∠DBG=∠BGD=60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG=BD=BG，
又∵BG=BE，
∴DG=BD=BG=BE．
在△ADG与△DAC中，

∠ADG=∠DAC ∠DGA=∠DCA AD=DA

，
∴△ADG≌△DAC（AAS），
∴AG=AE=DC=3．
在△ABE与△FAE中，

∠ABE=∠FAE ∠AEB=∠FEA

，
∴△ABE∽△FAE，
∴

AE

FE

=

BE

AE

，即

3

9 7

=

BE

3

，
解得BE=7，
∴DG=BD=BG=BE=7．
故答案为7．

连接BD．先证明∠ADC+∠ABC=180°，得出A、B、C、D四点共圆，于是∠DBC=∠DAC，再证明∠DAG+∠DBG=180°，得出A、G、B、D四点共圆，于是A、B、C、D、G五点共圆，得出∠BGD=∠BAD=60°，再证明△BDG是等边三角形，那么DG=BD=BG，利用AAS证明△ADG≌△DAC，得出AG=AE=DC=3，再证明△ABE∽△FAE，根据相似三角形对应边的比相等得出

AE

FE

=

BE

AE

，即

3

9 7

=

BE

3

，求出BE=7，则DG=BD=BG=BE=7．

本题考点：翻折变换（折叠问题）．

考点点评：本题主要考查了翻折变换，四点共圆，圆周角定理，等边三角形、全等三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．