题目

设f（x）属于C【a,b】,x1,x2,…,xn属于【a,b】（n大于2）,t1+t2+…+tn=1（ti大于0,i=1,…,n）.证明至少存在一点ξ属于【a,b】,使f（ξ）=t1f（x1）+t2f（x2）+…+tnf（xn）.

提问时间：2021-03-11

答案

有些细节也没想清楚,不过大概就是,x1,x2,…,xn全相等时显然成立,不相等时可以找出f(xi)中的最大最小,然后通过t1(f(x)-f(x1))+t2(f(x)-f(x2))+...+tn(f(x)-f(xn))这个关于x的函数在f（x）取最大最小时分别为正和负来通过连续性判断f(x)等于零的情况的存在.
这个函数就是通过把要证结论左边的f（ξ）*1展成f（ξ）*(t1+...tn)并和右边合并之后得到的.这也是这类问题的思路,就是把等式转化为一个函数式.
至于没有讨论到的细节还需要在完善.但是思路就是这样的.