题目

【二次函数求值域】
1、y=根号下(x-4) + 根号下(x-2)
2、y=根号下(x-4) - 根号下(x-2)
3、y=（x^2-4x+1）/(x-1)
4、y=(x^2+a)/根号下x^2+4 (a∈R)
5、y=根号下(x-3)^2 -4 + 根号下(x-5)^2 +1 [这里-4和+1都在根号里的]

提问时间：2021-03-11

答案

1、y=√(x-4) + √(x-2)
定义域：x∈[4,+∞)
可以证明y=√(x-4) + √(x-2)在定义域内单调递增
故：x=4时,取最小值√2
故：值域为[√2,+∞)
[说明：当4≤x1＜x2时,f(x1)-f(x2)= √(x1-4) + √(x1-2) -√(x2-4) -√(x2-2)＜0,因为√(x1-4) -√(x2-4) ＜0,√(x1-2) -√(x2-2)＜0]
2、y=√(x-4) - √(x-2)
定义域：x∈[4,+∞)
因为[√(x-4) - √(x-2)][ √(x-4) + √(x-2)]=-2
故：y=√(x-4) - √(x-2)=-2/[√(x-4) + √(x-2)]＜0
因为x1、x2∈[4,+∞)时,0＜√(x1-4) + √(x1-2)＜√(x2-4)+√(x2-2)
故：-2/[√(x1-4) + √(x1-2)]＜-2/[√(x2-4) + √(x2-2)]
故：y=√(x-4) - √(x-2) 在定义域内单调递增
故：x=4时,取最小值-√2
故：值域为[-√2,0)
3、y=（x²-4x+1）/(x-1)
因为y=(x²-4x+1）/(x-1),定义域:{x∣x≠1}
故：x²-(4+y)x+1+y=0
故：△=(4+y) ²-（1+y）≥0
故：y²+7y+15恒大于0
故：y∈R
即：值域为R
4、y=(x²+a)/ √(x²+4) (a∈R)
因为y=(x²+a)/ √(x²+4)
故：x²=(a-4y)/(y-1)≥0
即：(4y-a)/(y-1)≤0
当a=4时,值域为空集
当a＜4时,a/4≤y＜1,即：值域为[a/4,1)
当a＞4时,1＜y≤a/4,即：值域为(1,a/4]
5、y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]
y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]的定义域为(-∞,1]∪[5,+∞),由√[(x-3)² -4]有意义计算得来
当x∈[5,+∞)时,y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]单调递增,故：x=5时,取最小值1,此时y∈[1,+∞)
当x∈(-∞,1]时,y=√[(x-3)² -4] +√[(x-5) ² +1]单调递减,故：x=5时,取最小值1,此时y∈[1,+∞)
故：值域为y∈[1,+∞)
（单调性可以利用定义证明,仿照1的说明）