题目

求一道数学题的证法
设1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),证明:对任何奇数n,1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a^n+b^n+c^n)都成立

提问时间：2021-03-10

答案

1/a+1/b+1/c=1/a+b+c 两边同时乘以abc （abc不等于0）
bc+ac+ab=abc/（a+b+c） 两边同时a+b+c
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0
所以：a+b,b+c,c+a中,至少有一个是0
当n为奇数时a^n+b^n,b^n+c^n,a^n+c^n至少有一个是0
同理：
1/(an+bn+cn)-1/an+1/bn+1/cn
=(a^n+b^n)(b^n+c^n)(a^n+c^n)
=0