题目

如图,在三角形ABC中,角C=90°,AD平分角BAC交BC于D,CH垂直AB交AD于F,DE垂直AB于E.求证：四边形CDEF是菱形

提问时间：2021-03-10

答案

由题可知：DE//CH 所以：DE//CF 因为AD平分角BAC,所以 D点到AC和AB的距离相等.而DE垂直于AB,所以DE就是D点到AB的距离.（1） 由题可知角C=90°,所以DC也垂直于AC,故DC也是D点到AC的距离.（2） 由以上（1）（2）可知：DC＝DE 还因为 AD平分角BAC,所以可以证明出：三角形ADE和三角形ADC全等,所以可知：AE=AC； 既然AE=AC,且角EAF=角CAF,AF又是公共边,所以可以证明出：三角形AFC和三角形AFE也全等,所以：角ACF＝角AEF；.(3) 因为CH垂直于AB,所以很容易就可以知道：角ACF＝角ABC.(4) 由（3）（4）可知：角AEF＝角ABC,所以同位角相等,所以EF//CB 所以：EF//CD 由以上可知：DE//CF EF//CD AE=AC,所以：四边形CDEF是邻边相等的平行四边形,也久是菱形.