题目

设p＞0是一常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B.求证：以线段AB为直径的圆过原点.

提问时间：2021-03-10

答案

当直线AB与x轴垂直时,求出AB点的坐标,可证
否则,设直线AB的方程为y=k（x-2a）,设交于A(m,n)、B（l,k）要证结论即证OA垂直OB
即ml+nk=0,（用向量得到）.
又ml+nk=ml+k（m-2a）k（l-2a）=（1+k^2)ml-2ak^2(m+l)+4(a^2)(k^2)
把直线代人抛物线整理后,变成关于x的一元二次方程,由韦达定理得到m+l,ml代人上式,计算 得到,结论成立. （运算较繁）