题目

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，点P（-1，1）为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，点F为其右焦点．过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．

提问时间：2021-03-10

答案

（1）由题意，得a=2，e=22，∴c=1，∴b2=1．所以椭圆C的标准方程为x22+y2＝1．（6分）（2）∵P（-1，1），F（1，0），∴kPF＝−12，∴kOQ=2．所以直线OQ的方程为y=2x．（10分）又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4...

（1）由题意，得a=

2

，e=

2

2

，c=1，b²=1．由此可知椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2＝1．
（2）由题意知直线OQ的方程为y=2x，又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4），kPQ＝

4−1

2−(−1)

＝1．由此可知OP⊥PQ．所以直线PQ与圆O相切．

本题考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．