题目

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.h为AB上的高
求证a+b≥√（c^2+4h^2)
今天之前要答案，分数我会追加

提问时间：2021-03-10

答案

设AB上的高为AD
根据勾股定理,
∵AD^2+CD^2=AC^2
即AD^2+h^2=a^2
∵BD^2+CD^2=BC^2
即BD^2+h^2=b^2
则：
a+b=√(AD^2+h^2)+√(BD^2+h^2)
使用完全平方式带进去
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2+h^2)*√(BD^2+h^2))
因为a^2+b^2≥2ab
所以：√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2+h^2)*√(BD^2+h^2))=
√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+h^2(AD^2+BD^2)+h^4))
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+h^2(AD^2+BD^2)+h^4))
因为a^2+b^2≥2ab
≥√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+2h^2ADBD+h^4))
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2(ADBD+h^2))
=√((AD+BD)^2+4h^2)
=√((AB)^2+4h^2)
=√(c^2+4h^2)
即a+b≥√（c^2+4h^2)