题目

数列{a_n}是首项为0的等差数列，数列{b_n}是首项为1的等比数列，设c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前三项依次为1，1，2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）求数列{c_n}的前n项的和．

提问时间：2021-03-10

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，由题意得

d+q＝1 2d+q2＝2

，解得

d＝1 q＝0

(舍) 或

d＝−1 q＝2

，
则a_n=1-n，b_n=2^n-1 ．
（2）由（1）知，c_n=a_n+b_n=2^n-1-n+1
∴数列{c_n}的前n项的和
S_n=（2⁰+2¹+…+2^n-1）-（1+2+3+…+n）+n
=

20(1−2n)

1−2

−

n(1+n)

2

+n=

n−n2

2

+2n−1
∴Sn＝

n−n2

2

+2n−1

（1）根据题意c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前三项依次为1，1，2，列出方程组求解公差和公比，进而写出数列的通项公式；
（2）根据c_n的通项公式进行分组求和，转化成一个等比数列、等差数列、常数列求和，进而得到数列{c_n}的前n项的和．

本题考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查了数列的通项公式的求解，数列的求和问题，涉及了等差数列和等比数列的综合．数列在填空题中常涉及数列的基本性质，在解答题中经常考查数列及函数，数列及不等式等得综合应用，属中档题．