题目

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,它与椭圆x^/2+y^=1相交于A,B两点,求PA*PB的取值范

提问时间：2021-03-10

答案

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,可设直线的参数方程为x=2+tcosα,y=1+tsinα
椭圆方程化为 x²＋2y²－2＝0
把参数方程代入椭圆方程整理得（cos²α＋2sin²α)t²＋（4sinα＋4cosα)t+4=0
上列关于t的方程的两根t1,t2就是PA和PB
∴有根和系数的关系得
PA*PB=t1*t2＝4/(（cos²α＋2sin²α)=4/(（1-sinα²α＋2sin²α)＝4/(sin²α＋1)
∵0≤sin²α≤1
∴1≤sin²α＋1≤2
∴1/2≤1/sin²α≤1
即1/2≤PA*PB≤1
请复核数字计算