题目
若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值
过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12<=0
开口向上的抛物线小于等于0有解则判别式大于等于0
所以4m^2-12(m^2-12)>=0
m<=3√2
所以√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=m<=3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值=3√2
在上述过程中“x^2+y^2>=(x+y)^2/2”什么意思
过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12<=0
开口向上的抛物线小于等于0有解则判别式大于等于0
所以4m^2-12(m^2-12)>=0
m<=3√2
所以√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=m<=3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值=3√2
在上述过程中“x^2+y^2>=(x+y)^2/2”什么意思
提问时间:2021-03-09
答案
由题设a+b+c=1及柯西不等式可得:18=3×6=(1²+1²+1²)[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]².===>√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)≤3√2.∴[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]max=3√2....
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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