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题目
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)是否存在正整数m,使得a1,am,a40成等比数列?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

提问时间:2021-03-08

答案
(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵a5+a13=34,S3=9.
a5+a13=34
3a2=9
,…(2分)
a1+8d=17
a1+d=3

得:a1=1,d=2,….(4分)
故an=2n-1,Snn2,…(6分)
(2)要使a1,am,a40成等比数列,
必须am2a1a40
即(2m-1)2=1×(2×40-1)=79,…..(9分)
因为79不是完全平方数,故方程(2m-1)2=79无正整数解,
因此不存在正整数m,
使得a1,am,a40成等比数列….(12分)
(1)设等差数列{an}的公差为d,由a5+a13=34,S3=9得
a5+a13=34
3a2=9
,由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和公式.
(2)要使a1,am,a40成等比数列,必须(2m-1)2=1×(2×40-1)=79,因为79不是完全平方数,故不存在正整数m,使得a1,am,a40成等比数列.

等差数列与等比数列的综合.

本题考查等差数列和等比数列的性质和应用,考查运算求解能力和论证推理能力,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

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