题目

一个等比数列,前三项和为168 第二项减第五项差为42 求第五项和第七项的等差中项

提问时间：2021-03-07

答案

∵a1+a2+a3=168,∴a1+a1·q+a1·q²=168,∴a1·(1+q+q²)=168 (1)
a2-a5=42,∴a1·q-a1·q^4=42,∴a1·(q-q^4)=42 (2)
用(1)除以(2)得 1+q+q²=4(q-q^4)
∴4q^4+q²-3q+1=0
∴4q^4-q²+2q²-3q+1=0
∴q²·(4q²-1)+(2q-1)·(q-1)=0
∴q²·(2q+1)·(2q-1)+(2q-1)·(q-1)=0
∴(2q-1)·[q²·(2q+1)+q-1]=0
∴(2q-1)·(2q³+q²+q-1)=0
∴(2q-1)·(2q³-q²+2q²+q-1)=0
∴(2q-1)·[q²(2q-1)+(2q-1)·(q+1)]=0
∴(2q-1)·(2q-1)·(q²+q+1)=0
即(2q-1)²·(q²+q+1)=0
∵q²+q+1=(q+1/2)²+3/4>0
∴(2q-1)²=0
∴q=1/2
∴a1=96
∴a5=a1·q^4=96×(1/2)^4=6,
a7=a1·q^6=96×(1/2)^6=3/2
∴a5和a7的等差中项为(a5+a7)/2=15/4
太多了,好累啊