题目

整式的乘法和因式分解的所有重要公式还有技巧

提问时间：2021-03-07

答案

因式分解,也叫分解因式,
因式分解,是主谓短语,
分解因式,是动宾短语,
就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；
如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.
分解因式,也正如分解质因数,
分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；
分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,
具体方法,
【第一步,提取公因式】
这也是最简单的方法,
公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）,
而且,公因式还可能是一个式子,
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
= 5( a + b )( m + n )
【第二步,公式法】
就是把整式乘法的公式倒过来用,
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,
熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,
【平方差】还有两个完全平方相减的式子,
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )
【完全平方式】应该注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或许就只有一个
( a + b )" = a" + 2ab + b"
不管是和的平方,还是差的平方,
最先也都是平方和,
a" - 2ab - b" 就错了.
【立方和、立方差】
原来两个三次项,分解因式变成五个项,
两个是一次项、三个是二次项,
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )
我们看看特征,
两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；
三个二次项,a" + b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反.
或者,
看分解因式的五个项,
立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；
立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正.
想一想,
二次项 ab,如果立方和换成 +ab,立方差换成 -ab,
再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
这样看来,立方和是 -ab,立方差是 +ab,就是要加大与完全立方的差别啊!
为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我们都知道,分解因式是这五个项,
相对困难就是正负符号,不知怎样确定,
这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了.
【第三步,二次三项式分解】
我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,
就能够分组提公因式进行分解.
【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,
如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和；
如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差.
前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 +b",
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,
【】如果常数项是正数,
一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
【】如果常数项是负数,
一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )
这样我们也就发现,
【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为：
常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；
一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；
像这样的二次三项式,还有
x" ± 5x ± 6,
x" ± 10x ± 24,
x" ± 15x ± 54,
x" ± 20x ± 96,
x" ± 25x ± 150,
……
其实,它们都是 x" ± 5xy ± 6y" ,
这个式子千变万化,还有
6x" ± 5x ± 1,
6x" ± 10x ± 4,
6x" ± 15x ± 9,
6x" ± 20x ± 16,
6x" ± 25x ± 25,
……
这样的式子还不只一个,还有
8x" ± 26x ± 15,
8x" ± 52x ± 60,
8x" ± 78x ± 135,
8x" ± 104x ± 240,
8x" ± 130x ± 375,
……
其实,这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ,
这个千变万化的式子,同样还有
15x" ± 26x ± 8,
15x" ± 52x ± 32,
15x" ± 78x ± 72,
15x" ± 104x ± 128,
15x" ± 130x ± 200,
……
它们包括了多种具体情况,
让我们也都取值做一做,
感受一下其中的奥秘吧.
【】二次三项式,分解因式,
这样也是技巧、窍门,
关键就看 c 与 a 的正负,
只要熟悉这个方法,
x" + bx + c,
ax" + bx + c,
ax" + bxy + cy",
我们都同样做得方便.
【复杂的多项式,配方法】
如果上面这些方式方法都不熟悉,
或者二次三项式看起来复杂,不知所措,
还可以使用配方法,
我们还是看看 x" - 10x - 24 ,
x" - 10x - 24
首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式,用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
【分解之后,还要检验】
确保分解彻底,因式分解变形正确,
例如 x^6 - y^6,应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1,
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差,做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.
正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,
现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,
各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,
看看不同的方式方法是不是同一个结果,
这样才能够相互检验,确保解答正确.
如果要看技巧、诀窍,我还发布了百度经验
http://jingyan.baidu.com/article/11c17a2c749061f446e39d9a.html
http://jingyan.baidu.com/article/8275fc86baa46346a13cf651.html
希望你看过也有用,对你也有所帮助.