题目
数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
提问时间:2021-03-06
答案
(1)∵Sn=2an-3n,对于任意的正整数都成立,
∴Sn+1=2an+1-3n-3,
两式相减,得a n+1=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,
∴an+1+3=2(an+3),
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列,
由已知条件得:S1=2a1-3,a1=3.
∴首项b1=a1+3=6,公比q=2,
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3.
(2)∵nan=3×n•2n-3n
∴Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+n•2n)-3(1+2+3+…+n),
2Sn=3(1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1)-6(1+2+3+…+n),
∴-Sn=3(2+22+23+…+2n-n•2n+1)+3(1+2+3+…+n)
=3×
-6n•2n+
∴Sn=(6n-6)•2n+6-
∴Sn+1=2an+1-3n-3,
两式相减,得a n+1=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,
∴an+1+3=2(an+3),
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列,
由已知条件得:S1=2a1-3,a1=3.
∴首项b1=a1+3=6,公比q=2,
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3.
(2)∵nan=3×n•2n-3n
∴Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+n•2n)-3(1+2+3+…+n),
2Sn=3(1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1)-6(1+2+3+…+n),
∴-Sn=3(2+22+23+…+2n-n•2n+1)+3(1+2+3+…+n)
=3×
2(2n-1) |
2-1 |
3n(n+1) |
2 |
∴Sn=(6n-6)•2n+6-
3n(n+1) |
2 |
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