题目

一个不规则四边形,只知道四边长分别是51,90,96,30,求四边形面积,拜求大侠指教!

提问时间：2021-03-06

答案

记p=(a+b+c+d)/2 为半周长.对于普通四边形,如果其一对内角和为θ,由于四边形的内角和为360度,因此另一对内角和为360-θ.由Bretschneider公式,四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2(θ/2)].
由此我们也可看到,在四边固定的情况下,要使四边形的面积最大,必须使cos^2(θ/2)越小越好,对角和为180度时cos^2(θ/2)=0为最小值.（这意味着两个对角和都为180度）.这样得出的四边形的四个顶点共圆,即属于圆内接四边形.面积最大值就由Brahmagupta公式所得：S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).
因此只知道4条边是不能完全确定这个四边形的,需再测量多一个角度或对角线.
但由上,可求出此四边形的最大面积为：p=133.5,Smax=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]=3732.136