题目

已知函数f(x)=(x^2+3x+2a)/x,x属于[2,正无穷).(1)当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；（2）若f(x)>0对于任意x属于[2,正无穷)恒成立,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-03-06

答案

已知：f(x)=(x²＋3x+2a)/x,x∈[2,+∞）
1、a=1/2时,f(x)=(x²＋3x+1)/x=3 + x + 1/x；其导函数f'(x)=(x²-1)/x²,
显然,当x>1时f'(x)>0恒成立,即f(x)在x∈(1,+∞）上为单调递增函数
∵x∈[2,+∞),∴f(x)在此区间上恒为单调递增函数,f(x)min=f(2)=3+2+1/2=5.5
2、f(x)>0,对于任意x∈[2,+∞）恒成立
f(x)=(x²＋3x+2a)/x=3 + x + 2a/x>0
（1）a=0时,f(x)=3+x,x≧2,f(x)≧5>0,成立；
（2）a>0时,f(x)=3 + x + 2a/x,根据均值不等式（a>0,b>0,则a+b≧2√ab）
f(x)≧3+2√2a >0,成立；
（3）a0,x∈[2,+∞）要恒成立,
即x∈[2,+∞）时,x²＋3x+2a>0恒成立,若令g(x)=x²＋3x+2a
此关于x的一元二次函数,∵其函数图像的对称轴为x=-3/2,且开口向上,
∴在区间x∈[-3/2,+∞）上,g(x)为单调递增函数,又已知x∈[2,+∞),
∴在已知区间上,g(x)恒为单调递增函数,
∴f(x)>0,对于任意x∈[2,+∞）恒成立,即g(2)=2²＋3*2+2a>0恒成立,
解得a>-5
综上所述,可得：a>-5
望能帮助读者释疑!