题目

定义f(x)是R上的函数,对任意的x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)-f(y) ,且 f(x)在 x∈（0,+∞）为减函数,f(2)=0 .
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）求不等式 f(x-6)>0的解集.

提问时间：2021-03-06

答案

(1) f(0)=f(0)-f(0)=0,
f(0)=f(x)-f(-x)=0,得f(x)=f(-x),
所以f(x)是偶函数；
(2) f(2)=0,得f(-2)=0,
由于f(x)在x>0是单调减,则f(x)在x<0时单调增,
所以f(x-6)>0,
得：-2解得x∈(4,6)∪(6,8).