题目

已知函数f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax
（Ⅰ）若x=3是f（x）的一个极值点求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f（x）′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-05

答案

（Ⅰ）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

=

4(x-a)2-a2+3a

x

，
∵x=3是f（x）的一个极值，
∴f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，
解得，a=4或a=3；
而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，
当a=4时，满足条件，
故a=4．
（II）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

设g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），△=16（a²-3a），
设g（x）=0的两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
（1）当△≤0，即0≤a≤3时，
∴f（x）单调递增，满足题意；
（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，
①若x₁＜0＜x₂，则

3

4

（a²+a）＜0，即-1＜a＜0，
此时，f（x）在（0，x₂）上单调递减，
在（x₂，+∞）上单调递增，
而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
故不满足题意，
②若x₁＜x₂≤0，则

2a＜0 3 4 (a2+a)≥0

，
解得a≤-1，
此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
③若0＜x₁＜x₂，则

2a＞0 3 4 (a2+a)＞0

，
则a＞0，
此时，f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，不满足题意；
综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，3]．

（I）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4(x-a)2-a2+3a

x

，则f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，验证求a；
（II）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

，讨论f′（x）的单调性，从而求解．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于难题．