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题目
已知;抛物线Y=ax^2+2x+c,对称轴位直线x=-1,抛物线与y轴交与点c
抛物线与Y轴交于点C与X轴交于A(-3,0),B两点
1、求直线AC解析式
2、若点D是线段AC下方抛物线上的动点求四边形ABCD面积的最大值
3、P为抛物线上一点,若以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B,求点P的坐标

提问时间:2021-03-05

答案
第一个问题:
∵y=ax^2+2x+c的对称轴为x=-1,∴-2/(2a)=-1,得:a=1.
这样抛物线方程就可表达成:y=x^2+2x+c.
∵点A(-3,0)在抛物线y=x^2+2x+c上,∴0=(-3)^2+2×(-3)+c,∴c=-3.
∴点C的坐标为(0,-3).
∴直线AC的解析式为(y-0)/(x+3)=(0+3)/(-3-0)=-1,∴x+y+3=0.
即:直线AC的解析式为x+y+3=0.
第二个问题:
∵A、B、C是定点,∴△ABC的面积是定值.
∴要使四边形ABCD的面积最大,只需要△ACD的面积最大就可以了.
∴需要△ACD中AC上的高有最大值.
显然,当与AC平行的直线与抛物线相切时,切点到AC的距离就是△ACD中AC上的高的最大值.
由AC的方程x+y+3=0,得AC的斜率=-1.
对y=x^2+2x-3求导数,得:y′=2x+2.
令点D的坐标为(n,n^2+2n-3),则2n+2=-1,∴n=-3/2.
∴n^2+2n-3=9/4-3-3=-15/4.
∴点D的坐标为(-3/2,-15/4).
∴点D到AC的距离d1=|-3/2-15/4+3|/√2=9√2/8.
令y=x^2+2x-3中的y=0,得:(x+3)(x-1)=0,∴x1=-3、x2=1.
∴点B的坐标为(1,0).
∴点B到AC的距离d2=|1+0+3|/√2=2√2.
又|AC|=√[(-3-0)^2+(0+3)^2]=3√2.
∴四边形ABCD的最大面积=△ABC的面积+△ACD的最大面积
=(1/2)|AC|d2+(1/2)|AC|d1=(1/2)×3√2×2√2+(1/2)×3√2×9√2/8=75/8.
即:四边形ABCD的面积最大值为 75/8.
第三个问题:
∵BC切以PB为直径的圆于B,∴PB⊥BC.
由B(1,0)、C(0,-3),得:BC的斜率=(0+3)/(1-0)=3,∴PB的斜率为-1/3.
令点P的坐标为(t,t^2+2t-3),得:(t^2+2t-3)/(t-1)=-1/3,
∴3t^2+6t-9=-t+1,∴3t^2+7t-10=0,∴(t-1)(3t+10)=0,
∴t1=1、t2=-10/3.
由t=1,得:t^2+2t-3=1+2-3=0,∴此时点P的坐标为(1,0).
由t=-10/3,得:t^2+2t-3=100/9-20/3-3=13/9,∴此时点P的坐标为(-10/3,13/9).
即:满足条件的点P的坐标为(1,0)或(-10/3,13/9).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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