题目
实数a,b满足实数a,b满足a³+b³+3ab=1,求a+b的值
a的三次方)
a的三次方)
提问时间:2021-03-04
答案
由题意得:(a+b)(a^2+b^2-ab)+3ab=1
(a+b)[(a+b)^2-3ab]+3ab=1
(a+b)(a+b)^2-3ab(a+b)+3ab-1=0
[(a+b)^3-1]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)^2+1+a+b]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)^2+1+a+b-3ab]=0
∴(a+b-1)=0或(a+b)^2+1+a+b-3ab=0,
由(a+b)^2-3ab+(a+b)+1=0整理得:a^2-(b-1)a+(b^2+b+1)=0,
又∵a,b是实数,所以上述方程有实数解,
△=(b-1)^2-4(b^2+b+1)≥0
也就是:(b+1)^2≤0,
故:b=-1,代入上式解得a=-1,
所以此时a+b=-2;
综上所述可得:a+b=1或a+b=-2.
(a+b)[(a+b)^2-3ab]+3ab=1
(a+b)(a+b)^2-3ab(a+b)+3ab-1=0
[(a+b)^3-1]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)^2+1+a+b]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)^2+1+a+b-3ab]=0
∴(a+b-1)=0或(a+b)^2+1+a+b-3ab=0,
由(a+b)^2-3ab+(a+b)+1=0整理得:a^2-(b-1)a+(b^2+b+1)=0,
又∵a,b是实数,所以上述方程有实数解,
△=(b-1)^2-4(b^2+b+1)≥0
也就是:(b+1)^2≤0,
故:b=-1,代入上式解得a=-1,
所以此时a+b=-2;
综上所述可得:a+b=1或a+b=-2.
举一反三
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