题目

某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D到水面AB的距离DC=4米．

（1）求水面宽度AB的大小；
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，若cotα=3，求水面上升的高度．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在DC的延长线上，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，OA=10，OD=OC-DC=10-4=6，
∴AD=8，
∵OD⊥AB，OC是半径，
∴AB=2AD=16，
即水面宽度AB的长为16米．
（2）设OD与EF相交于点G，连接OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠EGC=∠EGO=90°，
在Rt△EGC中，cotα=

EG

CG

=3，
∴EG=3CG，
设水面上升的高度为x米，即DG=x，则CG=4-x，
∴EG=12-3x
在Rt△EGO中，EG²+OG²=OE²，（12-3x）²+（6+x）²=10²，化简得 x²-6x+8=0
解得x₁=4（舍去），x₂=2，
答：水面上升的高度为2米．