题目

已知圆O的方程为x^2+y^2=1.直线l1过点A(3.0) 若l1与圆O相交与C,D两点,求△CDO面积最大时直线l1的方程

提问时间：2021-03-04

答案

∵直线L过点A(3,0),故可设直线L:kx-y-3k=0.又直线L与单位圆相交于两点,故圆心(0,0)到直线L的距离d=|3k|/√(1+k²)＜1.易知,d实际上也是弦CD的弦心距,由“垂径定理”及“勾股定理”可知,此时,⊿OCD的面积S=d√(1-d²)=√[d²(1-d²)]=√{(1/4)-[d²-(1/2)]²}≤1/2.等号仅当d²=1/2时取得.即当d²=1/2时,Smax=1/2.此时由d=|3k|/√(1+k²)可求得9k²/(1+k²)=1/2.==>k²=1/17.===>k=±(√17)/17.∴当⊿CDO面积最大时,直线L:y=±(√17/17)(x-3).