题目

已知f(1)=lg(1/a),f(n-1)=f(n)-lga^n-1,求f（n）

提问时间：2021-03-04

答案

由f(n-1)=f(n)-lga^n-1得f(n)-f(n-1)=lga^n+1
∴f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)=lga^n +1+lga^(n-1)+...+lga² +n-1+lg(1/a)
∵真数1/a>0
∴a>0
∴f(n)=lga(n+n-1+...+2)+(n-1)-lga
=[(n+2)*(n-1)/2]lga +n-1-lga
=[(n²+n-4)/2]lga +n-1 ...(1)
当n=1,(1)式右边=-lga=lg(1/a),满足
∴f(n)=[(n²+n-4)/2]lga +n-1