题目

已知函数f（x）=asinωx+bcosωx（a，b∈R，且ω＞0）的部分图象如图所示．

（1）求a，b，ω的值；
（2）若方程3[f（x）]²-f（x）+m=0
在x∈(-

π

3

，

2π

3

)内有两个不同的解，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）由题意得T=4×(

7

6

π-

2

3

π)=2π，∴w=1∴f（x）=asinx+bcosx，又

f( 2 3 π)=0 f( 7 6 π)=-1

⇒

a= 1 2 b= 3 2

⇒f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)
（2）∵x∈(-

π

3

，

2

3

π)，
∴sin(x+

π

3

)∈(0，1]
   又m=-3[f（x）]²+f（x），
∴而f（x）=sin(x+

π

3

)∈(0，1]
则m∈（-2，

1

12

）

由题意结合所给的函数图象，先求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，在有图得到：∴f（x）=asinx+bcosx，又

f( 2 3 π)＝0 f( 7 6 π)＝−1

⇒

a＝ 1 2 b＝ 3 2

，然后由函数的定义域求出该三角函数值域．

本题考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：此题主要考查了利用三角函数图象求出周期，再利用图象所过的点的坐标求出a，b的值，此外还考查了已知三角函数的定义域求出由三角函数与二次函数复合的函数的值域．