题目

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点
(II)设抛物线在点A.B处的切线交于点N,且AF=a,BF=b(a>0,b>0),求NF

提问时间：2021-03-04

答案

F(0,p/2),设直线l的方程为y＝kx＋p/2 ,
代入抛物线方程得x^2－2pkx－p^2＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1＋x2＝2pk,x1x2＝－p2,
由x^2＝2py,可得y＝x^2/2p ,∴y′＝x/p ,
∴抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1/p ,x2/p .
∴在点A处的切线方程为y－y1＝x1/p (x－x1),即y＝( x1/p)x-x1^2/(2p)①
同理在点B处的切线方程为y＝( x2/p)x-x2^2/(2p)②
由①②可得x=(x1+x2)/2,y=-p/2,即为N的坐标.
AF=a,BF=b,所以y1=a-p/2,y2=b-p/2,|y1-y2|=|a-b|,
|x1-x2|^2=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab
NF^2=(x1+x2)^2/4+p^2=[(x1-x2)^2+4x1x2]/4+p^2=(4ab-4p^2)/4+p^2=ab
NF=√（ab）