题目

没分了,答对了追加分.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1和直线y=x-1相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的左焦点,求a^2.

提问时间：2021-03-04

答案

恰好我也是高二的,
联立椭圆方程与直线方程：
x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1
y=x-1
消去y,得关于x的方程（用a表示）
令A(x1,y1)B(x2,y2)
x1+x2=-b/a
y1+y2=c/a (韦达定理,用a表示)
令圆心坐标为(x0,y0)
即：
x0=(x1+x2)/2
y0=(y1+y2)/2
则可得圆的方程为
(x-x0)2 + (y-y0)2 = r2
由x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1可知做焦点坐标为 (-1,0)
利用两点距离公式 求得 左焦点到圆心的距离,即：r （可用a表示）
将r带入 (x-x0)2 + (y-y0)2 = r2
求得a