题目

已知函数f（x）=（x²+ax+a）•e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=f（x）-t（t∈R，a＞2），若函数g（x）在[-3，+∞）上有三个零点，求实数t的取值范围．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）f^′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x=（x+2）（x+a）e^x．
①当a=2时，f^′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增；
②当a≠2时，令f^′（x）=0，解得x=-2或-a．
不妨令x₁＜x₂，（x₁是-2与-a两个数中较小的一个，x₂是另一个）．列表如下：
当a＜2时，-a＞-2，取x₁=-2，x₂=-a，其单调区间如表格，其极大值为f（-2）=（4-a）e^-2，
极小值为f（-a）=ae^-a．
当a＞2时，-a＜-2，取x₁=-a，x₂=-2，其单调区间如表格，其极小值为f（-2）=（4-a）e^-2，
极大值为f（-a）=ae^-a．
（2）当a＞2时，利用（1）的结论画出图象：
f（-3）=（9-2a）e^-3，又f（-3）-f（-2）=e−3(e−2)(a−

4e−9

e−2

)，由于a＞2，且

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＞2，
∴①当2＜a≤

4e−9

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时，f（-3）≤f（-2），∴f（-2）＜t＜f（-a）时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象有三个交点，即函数y=g（x）有三个零点；
②当

4e−9

e−2

＜a＜3时，f（-3）＞f（-2），∴f（-3）≤t＜f（-a）时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象有三个交点，即函数y=g（x）有三个零点；
③当a≥3时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象至多有三个交点，即函数y=g（x）至多有两个零点．
综上可知：①当2＜a≤

4e−9

e−2

时，t∈（（4-a）e^-2，ae^-a）时，函数g（x）有三个零点；
②当

4e−9

e−2

＜a＜3时，t∈（（9-2a）e^-3，ae^-a）时，函数g（x）有三个零点；
③当a≥3时，则不存在满足题意的实数t．