题目
设f(x)=(x2+ax+a)e-x,x∈R.
(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;
( II)证明:当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3.
(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;
( II)证明:当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3.
提问时间:2021-03-04
答案
(Ⅰ)由于f(x)=(x2+ax+a)e-x,所以f'(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax+a)e-x=-e-x[x2+(a-2)x].…(2分)
令f'(x)=0解得x=0或x=2-a,
当a=2时,f'(x)≤0恒成立,此时f(x)无极值.
所以2-a≠0.
①当2-a>0,即a<2时,f'(x)和f(x)2的变化情况如下表1:
此时应有f(0)=0,所以a=0<2;
②当2-a<0,即a>2时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表2:
此时应有f(2-a)=0,即[(2-a)2+a(2-a)+a]ea-2=0,
而ea-2≠0,所以应有(2-a)2+a(2-a)+a=0⇒a=4>2.
综上可知,当a=0或4时,f(x)的极小值为0.…(6分)
( II)若a<2,则由表1可知,应有f(2-a)=3,也就是[(2-a)2+a(2-a)+a]ea-2=3,即(4-a)ea-2=3.
设g(a)=(4-a)ea-2,则g'(a)=-ea-2+(4-a)ea-2=ea-2(3-a).
由于a<2得 g'(a)>0,从而有g(a)<g(2)=2<3.
所以方程 (4-a)ea-2=3无解.…(8分)
若a>2,则由表2可知,应有f(0)=3,即a=3.…(10分)
综上可知,当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3.…(12分)
令f'(x)=0解得x=0或x=2-a,
当a=2时,f'(x)≤0恒成立,此时f(x)无极值.
所以2-a≠0.
①当2-a>0,即a<2时,f'(x)和f(x)2的变化情况如下表1:
x | (-∞,0) | 0 | (0,2-a) | 2-a | (2-a,+∞) |
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
②当2-a<0,即a>2时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表2:
x | (-∞,2-a) | 2-a | (2-a,0) | 0 | (0,+∞) |
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
而ea-2≠0,所以应有(2-a)2+a(2-a)+a=0⇒a=4>2.
综上可知,当a=0或4时,f(x)的极小值为0.…(6分)
( II)若a<2,则由表1可知,应有f(2-a)=3,也就是[(2-a)2+a(2-a)+a]ea-2=3,即(4-a)ea-2=3.
设g(a)=(4-a)ea-2,则g'(a)=-ea-2+(4-a)ea-2=ea-2(3-a).
由于a<2得 g'(a)>0,从而有g(a)<g(2)=2<3.
所以方程 (4-a)ea-2=3无解.…(8分)
若a>2,则由表2可知,应有f(0)=3,即a=3.…(10分)
综上可知,当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3.…(12分)
对函数求导,整理可得f′(x)=e-x[x2+(a-2)x]
(Ⅰ)令f′(x)=0可得x1=0,x2=2-a,分别讨论2-a 与0的大小,从而判断函数的单调性,进一步求出函数的极小值,从而求a的值
( II)结合(Ⅰ)中函数单调性的两种情况的讨论,利用反证法分别假设a>2,a<2两种情况证明,产生矛盾.
(Ⅰ)令f′(x)=0可得x1=0,x2=2-a,分别讨论2-a 与0的大小,从而判断函数的单调性,进一步求出函数的极小值,从而求a的值
( II)结合(Ⅰ)中函数单调性的两种情况的讨论,利用反证法分别假设a>2,a<2两种情况证明,产生矛盾.
利用导数研究函数的极值.
本题的考点是利用导数研究函数的极值,考查用导数的方法研究函数的单调性、极值.解题中渗透了分类讨论、数形结合、方程与函数的思想及转化的思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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