题目

证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和

提问时间：2021-03-04

答案

方法一：利用余弦定理.
在平行四边形ABCD中,有：AB＝DC、AD＝BC、∠A＝180°－∠B,∴cosA＝－cosB.
由余弦定理,有：
AC^2＝AB^2＋BC^2－2AB×BC×cosB,······①
BD^2＝AD^2＋AB^2－2AD×AB×cosA＝AD^2＋DC^2＋2BC×AB×cosA.······②
①＋②,得：AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2.
方法二：利用向量点积.
在平行四边形ABCD中,有：
向量AC＝向量AB＋向量AD,向量BD＝向量BA＋向量BC＝－向量AB＋向量AD.
∴｜AC｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋2向量AB·向量AD,······③
　｜BD｜^2＝｜AD｜^2＋｜AB｜^2－2向量AD·向量AD.······④
③＋④,得：｜AC｜^2＋｜BD｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋｜AD｜^2＋｜AB｜^2.
显然有：AD＝BC、AB＝DC,∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2.
方法三：利用勾股定理.
不失一般性,假设平行四边形ABCD中,∠A为锐角.
分别过A、B向DC引垂线,垂足分别为E、F.
容易得出：AE＝BF、ED＝FC,∴EC＝ED＋DC＝FC＋DC、DF＝DC－FC.
由勾股定理,有：AC^2＝AE^2＋EC^2、BD^2＝BF^2＋DF^2,两式相加,得：
AC^2＋BD^2＝2BF^2＋（FC＋DC）^2＋（DC－FC）^2＝2BF^2＋2FC^2＋2DC^2.
再由勾股定理,有：BF^2＋FC^2＝BC^2,∴AC^2＋BD^2＝2BC^2＋2DC^2.
明显有：AD＝BC、AB＝DC,
∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2.