题目

已知函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x）,求证y=f（x）的图像关于x=a对称

提问时间：2021-03-04

答案

可以证明的,很简单的!
证明：设P（x,f(x))是y=f(x)上任一点,其关于x=a的对称点P’应为(2a-x,f(x)).
因为f(a+x)=f(a-x),所以f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),故P’坐标为(2a-x,f(2a-x))显然在y=f(x)图象上.
由点P的任意性知道y=f(x)关于x=a对称
证毕!
其实这是充分必要条件.
附赠几个常见结论（大甩卖了!）
1、函数y=f(x)关于直线x=a对称的充分必要条件是f(x)=f(2a-x)或等价于f(a+x)=f(a-x)
特别地,关于x=0即y轴对称有f(-x)=f(x)
2、y=f(x)关于点(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b
特别地,关于原点(0,0)对称有f(x)+f(-x)=0
3、函数y=f(x)关于直线x=a和x=b对称(a≠b),则2│a-b│为f(x)的一个周期
4、函数y=f(x)关于两点(a,c)和(b,c)对称(a≠b),则2│a-b│为f(x)的一个周期
5、函数y=f(x)关于直线x=a和点(b,c)对称(a≠b),则4│a-b│为f(x)的一个周期
LZ有兴趣可以证明一下.