题目

有关于鸽巢原理的一道证明题
设a1,a2,a3...a1997是正整数1,2,3...1997的一个排列.求证:(a1-1)(a2-2)...(a1997-1997)是一个偶数

提问时间：2021-03-04

答案

把减数1、2、3、4、5、6、7、...1997看做1997个抽屉
这1997个抽屉有994个是奇数,993个是偶数
把a1,a2,...a1997这994个奇数和993个偶数投入7个抽屉中
994个奇数不可能全部放入993个是偶数抽屉中
所以,至少有1个奇数被放入奇数抽屉里,那么这2个数的差就是偶数
在整数乘法中,因数里有一个偶数,那么积就是偶数
而(a1-1)、(a2-2)、...、(a1997-1997)中至少有1个偶数
所有(a1-1)(a2-2)...(a1997-1997)为偶数